Tema: Inducción
Usando inducción matemática, comprobar que
"Para todo $n \in IN$ : $n^3 + 2n$, es múltiplo de 3". (*)
Solución:
n=1) $1^3+2*1=3$ es múltiplo de 3. Se cumple.
n=k) Supongamos que (*) se cumple para $n=k$: $k^3+2k$, es múltiplo de 3. Es decir que
$k^3+2k=3p$ (**)
n=k+1) Por demostrar que: $(k+1)^3+2(k+1)$, es múltiplo de 3
Demostración:
$(k+1)^3 +2(k+1)$
$=(k+1)((k+1)^2+2)$
$=(k+1)(k^2+2k+3)$ Por (**)
$=(k+1)(3p+3)$
$=3*(k+1)(p+1)$,
de donde $(k+1)^3+2(k+1)$, es múltiplo de 3.
n=k) Supongamos que (*) se cumple para $n=k$: $k^3+2k$, es múltiplo de 3. Es decir que
$k^3+2k=3p$ (**)
n=k+1) Por demostrar que: $(k+1)^3+2(k+1)$, es múltiplo de 3
Demostración:
$(k+1)^3 +2(k+1)$
$=(k+1)((k+1)^2+2)$
$=(k+1)(k^2+2k+3)$ Por (**)
$=(k+1)(3p+3)$
$=3*(k+1)(p+1)$,
de donde $(k+1)^3+2(k+1)$, es múltiplo de 3.
2 Comentarios:
Cuanto sustituye ** en el último paso, no se es correcto ya que ** es k^3+2k y se esta sustituyendo k^2+2k, lo correcto es desarrollar
(k+1)^3 + 2(k+1)
k^3+3k^2+5k+3
(k^3+2k)+(3k^2+3k+3) reemplazamos(**)
3p + 3(k^2+k+1)
3(p+k^2+k+1)
parecen caminos alternativos...pero ambos correctos...
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